দ্বিতীয় অধ্যায় : বীজগাণিতিক রাশি, নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত

প্রশ্ন-১। বীজগাণিতিক রাশি বলতে কী বুঝ?

উত্তরঃ বীজগাণিতিক রাশিকে সংক্ষেপে রাশি বলা হয়। যেমন : 2x, 2x + 3y, 6x + 4y2 ইত্যাদি প্রত্যেকেই এক একটি বীজগাণিতিক রাশি। এদের প্রতীকটিকে চলক বলা হয়।

প্রশ্ন-২। চলক কি?

উত্তরঃ গণিতশাস্ত্রে ‘চলক’ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। গাণিতিক প্রক্রিয়ায় যে সব বিষয় বা রাশি পরিবর্তনশীল এবং যাদের মান ভিন্ন ভিন্ন অবস্থায় ভিন্ন ভিন্ন হয়ে থাকে তাদেরকে চলক (Variable) বলে। এসব রাশি বিভিন্ন অবস্থায় বিভিন্ন মান ধারণ করে।

প্রশ্ন-৩। বহুপদী কি?

উত্তরঃ বহুপদী বিশেষ ধরনের বীজগাণিতিক রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকে। পদগুলো এক বা একাধিক চলকের শুধু অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল।

x একটি চলক হলে a, ax + b, ax2 + bx + c ইত্যাদি আকারের রাশি x চলকের বহুপদী। এরূপ এক চলকের বহুপদী, দুই চলকের বহুপদী, তিন চলকের বহুপদী হতে পারে।

প্রশ্ন-৪। এক চলকের বহুপদী কাকে বলে?

উত্তরঃ যে বহুপদী একটি মাত্র চলকের সমন্বয়ে গঠিত তাকে এক চলকের বহুপদী বলে।

প্রশ্ন-৫। সমমাত্রিক বহুপদী কি?

উত্তরঃ কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে, একে সমমাত্রিক বহুপদী বলা হয়। উদাহরণ : x² + 2xy + y² রাশিটি x, y চলকের দুই মাত্রার একটি সমমাত্রিক বহুপদী (এখানে প্রত্যেক পদের মাত্রা 2)।

প্রশ্ন-৬। প্রতিসম রাশি কাকে বলে?
উত্তরঃ একাধিক চলক ধারণকারী কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলক স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে রাশিটিকে ঐ চলকসমূহের প্রতিসম রাশি বলে।

প্রশ্ন-৭। বহুপদীর মাত্রা কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ অর্থাৎ সবচেয়ে বড় মাত্রাকে বহুপদীর মাত্রা বলে।

প্রশ্ন-৮। চলকবর্জিত পদকে কী বলা হয়?

উত্তরঃ ধ্রুব পদ।

প্রশ্ন-৯। অভেদ কী?

উত্তরঃ দুটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে, তাদের সমতাকে অভেদ বলে।

বীজগাণিতিক সূত্রাগুলো কী কী?

উত্তরঃ বীজগাণিতিক সূত্রাগুলো নিম্নরূপঃ-

বর্গের সূত্র:

• (a+b)²= a²+2ab+b²
• (a+b)²= (a-b)²+4ab
• (a-b)²= a²-2ab+b²
• (a-b)²= (a+b)²-4ab
• a² + b²= (a+b)²-2ab.
• a² + b²= (a-b)²+2ab
• a²-b²= (a +b)(a -b)
• 2(a²+b²)= (a+b)²+(a-b)²
• 4ab = (a+b)²-(a-b)²
• ab = {(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²
• (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

ঘনের সূত্রঃ

• (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
• (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
• (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³
• (a-b)³= a³-b³-3ab(a-b)
• a³+b³= (a+b) (a²-ab+b²)
• a³+b³= (a+b)³-3ab(a+b)
• a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
• a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b)

আরো কিছু ত্রিপদী রাশির সূত্র:

• (a²+b²+c²)=(a+b+c)²–2(ab+bc+ca)
• 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)²–(a²+b²+c²)
• (a+b+c)³=a³+b³+c³+ 3(a+b)(b+c)(c+a)
• a³+b³+c³–3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²–ab–bc– ca)
• a³+ b³+ c³–3abc =(a+b+c){(a–b)²+(b–c)²+(c–a)²}
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (x + a)(x – b) = x²+ (a – b) x – ab
• (x – a)(x + b) = x²+ (b – a) x – ab
• (x – a)(x – b) = x²– (a + b) x + ab
• (x+p)(x+q)(x+r) = x³+ (p+q+r)x² + (pq+q+rp)x +pqr